helppp !!On considère la suite définie par Un = ( ( (3^n)-(2^n) ) / ( (3^n)+(2^n) ) ) + ( ( (3^n)+(2^n) ) / ( (3^n)-(2^n) ) ) .Montrer que cette suite converge et trouver sa limite.

Question

09-11-2013
Mathématiques

Answered

helppp !!On considère la suite définie par Un = ( ( (3^n)-(2^n) ) / ( (3^n)+(2^n) ) ) + ( ( (3^n)+(2^n) ) / ( (3^n)-(2^n) ) ) .Montrer que cette suite converge et trouver sa limite.

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Un = ( ( (3^n)-(2^n) ) / ( (3^n)+(2^n) ) ) + ( ( (3^n)+(2^n) ) / ( (3^n)-(2^n) ) )
soit a=3^n et b=2^n
donc U(n)=(a-b)/(a+b)+(a+b)/(a-b)
              =((a-b)²+(a+b)²)/((a+b)(a-b))
              =(2a²+2b²)/(a²-b²)
              =2(a²+b²)/(a²-b²)
              =2(3^(2n)+2^(2n))/(3^(2n)-2^(2n))
              =2(9^n+4^n)/(9^n-4^n)
              =2(1+(4/9)^n)/(1-(4/9)^n)
or V(n)=(4/9)^n converge vers 0 (suite géométrique de raison q où 0<q<1)
donc U(n) converge vers L=2*(1+0)/(1-0)=2