Sagot :
2. Soit f la fonction définie sur IR \ {1} par f(X)=1/(1-X)
a) On définit la fonction g par g(X)=f(f(f(X)))
Modifier le programme suivant de manière à permettre le calcul de g(X)
PROGRAM:FOFOF
:Prompt X
:X->A
:For(I,1,2)
:A/(A-1)->A
:End
:Disp "F(F(X))="
,A
b) Tester le programme avec X=1 puis X=0. Que se passe-t-il ? Expliquer le phénomène.
g(x)=f(f(x))=x
donc h(x)=f(f(f(x)))=f(x)=1+1/(x-1)
avec x=1 on obtient "error"
avec x=0 on obtient 0
c) Faire fonctionner le programme avec les valeurs de X distinctes de 0 et 1.
Quelle conjecture peut on émettre sur la fonction g ?
La démontrer.
conjecture : h(x)=x/(x-1)
preuve :
h(x)=1+1/(x-1)
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)
=(x-1+1)/(x-1)
=x/(x-1)
d) On considère la fonction h définie sur IR \ {0;1} par h(X)=f(...f(f(f(X)))...) où la lettre f est écrite 1000 fois. Donner une expression simple de h(X) en fonction de X.
f0(x)=x
f1(x)=f(x)
f2(x)=f(f(x))=x
f3(x)=f(f(f(x)))=f(x)
f4(x)=f(f(f(f(x))))=f(f(x))=x
... etc
f1000(x)=x
a) On définit la fonction g par g(X)=f(f(f(X)))
Modifier le programme suivant de manière à permettre le calcul de g(X)
PROGRAM:FOFOF
:Prompt X
:X->A
:For(I,1,2)
:A/(A-1)->A
:End
:Disp "F(F(X))="
,A
b) Tester le programme avec X=1 puis X=0. Que se passe-t-il ? Expliquer le phénomène.
g(x)=f(f(x))=x
donc h(x)=f(f(f(x)))=f(x)=1+1/(x-1)
avec x=1 on obtient "error"
avec x=0 on obtient 0
c) Faire fonctionner le programme avec les valeurs de X distinctes de 0 et 1.
Quelle conjecture peut on émettre sur la fonction g ?
La démontrer.
conjecture : h(x)=x/(x-1)
preuve :
h(x)=1+1/(x-1)
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)
=(x-1+1)/(x-1)
=x/(x-1)
d) On considère la fonction h définie sur IR \ {0;1} par h(X)=f(...f(f(f(X)))...) où la lettre f est écrite 1000 fois. Donner une expression simple de h(X) en fonction de X.
f0(x)=x
f1(x)=f(x)
f2(x)=f(f(x))=x
f3(x)=f(f(f(x)))=f(x)
f4(x)=f(f(f(f(x))))=f(f(x))=x
... etc
f1000(x)=x
