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bonjours a tous,
j'ai un dm en math, mais j'ai vrmt rien compris a l'exo
qqun pourrait m'aider svp ça serait trés gentil a vous, c'est trés urgenttt

Enoncé :  n! = 1*2*3*...*n (ex: 3! = 1*2*3 = 6 )
On considère la suite u pour tout entier n non nul par:
Un = [tex]1+ \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +... + \frac{1}{n!} [/tex]

1) démontrer que pour tout entier K[tex] \geq 1,K! \geq 2 ^{k-1} [/tex]
2) démontrer qur pour tout entier naturel n:
[tex]Un \leq 1+1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2} } +...+ \frac{1}{2 ^{n-1} } [/tex]
en déduire que la suite u est majorée par 3
3) la suite u est-elle convergente

Sagot :

On considère la suite u pour tout entier n non nul par:
Un =

1) démontrer que pour tout entier K
récurrence sur k
hérédité : k! >2^(k-1)
              k*k! > 2^(k-1)*k
              (k+1)! > 2^(k-1)*2
              (k+1)! > 2^k

2) démontrer qur pour tout entier naturel n:

en déduire que la suite u est majorée par 3
U(n) < 1+2^0+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(1-n)
U(n)<1+1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)
U(n)<1+(1-2^(-n))/(1-1/2)
U(n)<1+2*(1-2^(-n))
U(n)<1+2*(1-0)
U(n)<3
U est majorée par 3

3) la suite u est-elle convergente
U est croissante et majorée
donc (th de convergence monotone) U est convergente