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bonjour, vous pourais m'aidée sur mon DM svp.

Soit U la suite définie pas U0 appartint  ]1;+ infinie [ et par la relation récrrence pour tout n   Un+1= racine 3Un-2

 

1) la suite U est monotone

2) la suite U est minorée par 1.

3) si U0 ]1;2[ alors U converge vers 1.

4) si U0 appartint ]1;2[ alors U converge vers 2.

5) si U0 appartint ]2;+infinie[ alors U converge vers 2.

merci bcp

Sagot :

Soit U la suite définie pas U0 appartint  ]1;+ infinie [
pour tout n   Un+1= √(3Un-2)

U(n) est minorée par et majorée par 2
Preuve par récurrence :
(I) : U(0)>1 donc 1<U(0)<2
(H) : 1<U(n)<2
      donc 1<3U(n)-2<4
      donc 1<√(3U(n)-2)<2
      donc 1<U(n+1)<2
(C) : pour tout entier n : 1<U(n)<2

U(n+1)-U(n)=√(3U(n)-2)-U(n)
                 =(√(3U(n)-2)-U(n))(√(3U(n)-2+U(n))/(√(3U(n)-2)+U(n))
                 =(3U(n)-2-U(n)²)/(√(3U(n)-2)+U(n))
                 =(2-U(n))(U(n)-1)/(√(3U(n)-2)+U(n))
or 1<U(n)<2
donc 2-U(n)>0 et U(n)-1>0
donc U(n+1)-U(n)>0
donc U est croissante et monotone

ainsi U est croissante et majorée par 2
donc (th de convergence monotone) U est convergente vers k

sa limite k vérifie le th du point fixe
donc k=√(3k-2)
donc k²=3k-2
donc k²-3k+2=0
donc (k-2)(k-1)=0
donc k=2 car k>1