Dans le triangle TRA : • le point D est le milieu du segment [TR] ;• le point C est le milieu du segment [TA].Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.Donc, (CD) // (RA).Or, la droite (TH) est perpendiculaire à la droite (RA).On a alors : la droite (TH) est perpendiculaire à la droite (DC).La droite (TH) est une hauteur pour le triangle TDC.Dans le triangle TRA :• le point D est le milieu du segment [TR] ;• le point C est le milieu du segment [TA]. Or, dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.Donc, DC = RA : 2.Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.Donc, le point I est le milieu du segment [TH].On a alors TI = TH : 2.Finalement, l’aire du triangle TDC est égale à : (DC × TI) : 2 = [(RA : 2) × (TH : 2)] : 2 = [(RA × TH) : 2] : 4.L’aire du triangle TAR est égale à quatre fois l’aire du triangle TDC.
