Exercice 4 (7 points) « Une clôture contre un mur » Un propriétaire dispose de 200 m de clôture. Il envisage de l’utiliser pour faire un enclos rectangulaire ABCD. Un mur lui permet « d’économiser » la clôture sur le côté [AD]. On note x la longueur, en mètres, de [AB] et A( x)l’aire, en 2 m , du rectangle ABCD. 1. a. Exprimer la longueur BC en fonction de x. D’après l’énoncé, ABCD est un rectangle et la clôture mesure 200 m. On a donc : BC = 200 − "# + $% BC = 200 − + BC = 200 − 2 Donc la longueur BC est égale à 200 − 2 m. b. En déduire : ( )2 A x x x = − + 2 200 . Comme ABCD est un rectangle, on en déduit que : " = "# × #% " = × 200 − 2 " = 200 − 2² " = −2 + 200 Donc l’aire du rectangle est égale à −2 + 200 m². 2. Déterminer les dimensions possibles de l’enclos pour que : A( x) = 4200. Résolution de l’équation " = 4200 : " = 4200 ⇔ −2 + 200 = 4200 " = 4200 ⇔ −2 + 200 − 4200 = 0 En divisant par 2, on obtient : " = 4200 ⇔ − + 100 − 2100 = 0 Calcul du discriminant : ∆= (² − 4) ∆= 100² − 4 × −1 × −2100 ∆= 10 000 − 8 400 ∆= 1 600 Comme ∆> 0, alors l’équation −2 + 200 − 4200 = 0 admet deux solutions 1x et 2x telles que : = ,√∆- = ,√∆- =..√ /..×() =..√ /..×() =... =... =. = /. = 70 = 30 On en déduit donc : 1"# = BC = 200 − 2 ou 1"# = BC = 200 − 2 4"# = 70BC = 200 − 2 × 70 ou 4"# = 30BC = 200 − 2 × 30 4"# = 70 5 BC = 60 m ou 4"# = 30 5BC = 140 m
