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Bonjour a tous je suis en terminale S spé math, et nous travaillons sur la division euclidienne voici l'exercice a résoudre:
1.Soit n un entier naturel avec n supérieur ou égal a 2, vérifier que:
(4n-3)^2 = 8 ( ( 2n^2 )-3n )+9

2.Cette écriture traduit elle l’écriture de la division euclidienne de ( 4n - 3)^2 par 8 ? Préciser le quotient et le reste de cette division.

3. Quel est l'ensemble des entiers n supérieur ou égal a 2 pour lesquels cette écriture est celle de la division euclidienne de (4n-3)^2 par (2n^2 -3n) ?

Merci d'avance j'ai vraiment besoin d'aide !!

Sagot :

Question 1: Le calcul est évident
Question 2: L'écriture obtenue au 1 ne traduit pas la div. euclidienne de (4n - 3)² par 8
car 9 > 8.
On a
(4n - 3)² = 8 (2n² - 3n + 1 ) + 1
Le trinôme entre parenthèse peut s'écrire: (2n - 1)(n-1).
Pour tout n supérieur ou égal à 2 ce produit est supérieur ou égal à 0.
Donc 2n² - 3n + 1 est le quotient de la division euclidienne de (4n - 3)² par 8 avec un reste égal à 1.

Question 3:
(4n - 3)² = 8(2n²-3n) + 9
le reste dans la division euclidienne doit être inférieur au diviseur
donc 9 < 2n²-3
ce qu'on peut écrire: 2n² - 3n - 9 > 0
Le trinôme peut se factoriser en (2n+3)(n-3)
on a donc pour tout n > 3 : 2n² - 3n - 9 >0
Pour tout n supérieur ou égal à 4 :  (4n - 3)² peut s'écrire sous la forme 8(2n² - 3n) +9 qui est l'expression de la division euclidienne de (4n - 3)² par ( 2n² - 3n)