soit f une fonction sur un intervalle I et (un) une suite dont tout les termes appartienne à I. si lim un=a quand n tend vers +inf et si lim f(x)=b quand n tend vers a
alors lim f(un)=b quand n tend vers +inf
preuve :
lim (u(n))=a quand n tend vers +inf
donc pour tout e>0 il existe N tel que n>N : a-e < u(n) < a+e
lim f(x)=b quand x tend vers a
donc pour tout e'>0 il existe f>0 tel que : a-f < x < a+f implique b-e' < f(x) < b+e'
alors puisque tous les termes de la suite (u(n)) appartiennent à I
on peut poser x=u(n)
donc pour tout f>0 il existe N tel que n>N et a-f < u(n) < a+f
donc pour tout f'>0 il existe N tel que n>N : b-f' < f(u(n)) < b+f' pour tout f'>0
donc lim(f(u(n)))=b si n tend vers +inf
