Soit z un nombre complexe différent de 5.
On pose : Z = (2z – 3)/(5 – z)
On pose x = Re(z) et y = Im(z).
1- Déterminer Re(Z) et Im(Z) en fonction de x et y.
Z = (2z – 3)/(5 – z)
=(2x+2iy-3)/(5-x-iy)
=((2x-3)+i(2y))((5-x)+iy)/((5-x)²+y²)
=((2x-3)(5-x)-2y²)/((5-x)²+y²)+i((5-x)(2y)+(2x-3)y)/((5-x)²+y²)
=(-2x²-2y²+13x-15)/((5-x)²+y²) + i (7y)/((5-x)²+y²)
Donc
Re(Z)=(-2x²-2y²+13x-15)/((5-x)²+y²)
Im(Z)=(7y)/((5-x)²+y²)
2- En déduire les valeurs de z telles que Z soit réel.
Z est réel si Im(Z)=0
Soit si 7y=0 et (x,y) différente de (5,0)
Donc cet ensemble est l’axe des abscisses privé du point A(5 ;0)
