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Trouver le plus petit entier naturel n tel que:
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+⋯+1/(√n+√n+1)≥10

 

Merci à ceux qui pourrons aider car je n'ai strictement rien compris ;)

Sagot :

1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+⋯+1/(√n+√n+1)≥10

1/(1+√2)=(1-√2)/((1+√2)(1-√2))
            =(1-√2)/(1-2)
            =√2-1

1/(√2+√3)=(√2-√3)/((√2+√3)(√2-√3))
            =(√2-√3)/(2-3)
            =√3-√2
donc
1/(1+√2)+1/(√2+√3)=√2-1+√3-√2=√3-1

par conséquent
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)=√4-1 (=1)

de même
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+⋯+1/(√n+√n+1)=√n-1

donc
√n-1≥10
donc
√n≥11
donc
n≥121