1) Démontrer l'égalité: (1+2\/¯3)² = 13+4\/¯3
(1+2\/¯3)² est une identité remarquable de la forme (a+b²)=a²+2ab+c²
donc (1+2\/¯3)² = 1²+2*1*2\/¯3+(2\/¯3)² = 1+4\/¯3+4*3 = 1+4\/¯3+12 = 13+4\/¯3
2) Démontrer que, pour tout réel a: a^3-1 = (a-1) (a²+a+1)
Calculons :
(a-1) (a²+a+1) = a^3 +a²+a -a²-a -1 = a^3 +a²-a² +a-a -1 = a^3-1
3) Démontrer que tous les nombres réels a, b, c et d:
(ac+bd)² + (ad- bc)² = (a²+ b²) (c²+ d²)
(ac+bd)² est une identité remarquable comme à la question 1
(ad-bc)² est une identité remarquable de la forme (a-b)² =a²-2ab+c²
donc
(ac+bd)² + (ad- bc)² = a²c²+2acbd+b²d²+a²d²-2abcd+b²c²
= a²c²+b²d²+a²d²+b²c² =a² (c²+d²) + b²(d²+c²) =(c²+d²)(a²+b²) = (a²+ b²) (c²+ d²)
