soit f une fonction quelconque définie sur IR
posons :
u(x)=(f(x)+f(-x))/2
et
v(x))=(f(x)-f(-x))/2
alors
f(x)=u(x)+v(x)
donc f est la somme de u et v
u(-x)=(f(-x)+f(-(-x)))/2=(f(-x)+f(x))/2=u-(x)
donc u est paire sur IR
v(-x)=(f(-x)-f(-(-x)))/2=(f(-x)-f(x))/2=-v(x)
donc v est impaire sur IR
donc toutes fonctions de R vers R peut s'ecrire comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire
