1) Cf. le graphique joint.
On voit graphiquement
que les solutions de l'inéquation x ≤ 1/x pour tout x ∈ IR* sont :
x ∈ ] −∞ ; −1 ] ⋃ ] 0 ; 1 ]
2) Si l'on a : x ≤ 1/x pour tout x ∈ IR*
a. on a x² ≤ 1 pour tout x > 0
soit x² − 1 ≤ 0
d'où (x − 1) (x + 1) ≤ 0
Or pour x ∈ IR⁺* :
— (x − 1) (x + 1) est strictement négatif seulement pour x ∈ ] 0 ; 1 [
où (x − 1) et (x + 1) sont de signe contraire,
— et x est nul pour x = 1
Les solutions pour x ∈ IR⁺* sont donc x ∈ ] 0 ; 1 ]
b. on a x² ≥ 1 pour tout x < 0
soit x² − 1 ≥ 0
d'où (x − 1) (x + 1) ≥ 0
Or pour x ∈ IR⁻* :
— (x − 1) (x + 1) est strictement positif seulement pour x ∈ ] −∞ ; −1 [
où (x − 1) et (x + 1) sont de même signe,
— et x est nul pour x = −1
Les solutions pour x ∈ IR⁻* sont donc x ∈ ] −∞ ; −1 ]
c. L'ensemble des solutions est donc : x ∈ ] −∞ ; −1 ] ⋃ ] 0 ; 1 ]
