1) Comme f₁(x) = x² - 2x - 2,
sa dérivée f₁'(x) = 2x - 2
qui est négative pour tout x ≤ 1
et positive pour tout x ≥ 1
f₁ est donc décroissante pour tout x ≤ 1
et croissante pour tout x ≥ 1
Cf. fichier joint (courbe rouge).
2)
a) Pour que la droite 2x + m ait des points communs avec Γ, il faut que :
x² - 2x - 2 = 2x + m
soit que x² - 4x - (2 + m) = 0
Or, cette équation g(x) = x² - 4x - (2 + m)
n'a des racines que si son discriminant Δ ≥ 0
soit si (-4)² - 4(1)(- 2 - m) ≥ 0
d'où si 16 + 8 + 4m ≥ 0
donc si m ≥ 6
b) Comme les points M' et M" communs à Γ, et D sont les racines de l'équation g(x) = 0
soit x² - 4x - (2 + m) = 0
les coordonnées de I, milieu de [M'M"] sont celles du milieu des racines du trinôme.
Or la somme des racines de ce trinôme étant : - b/a = [(4 - √Δ)/2 + (4 + √Δ)/2]
= 8/2
= 4
En abscisse, le milieu de ce segment correspondant à la moitié de la somme de ses racines a donc pour valeur : 4 ÷ 2 = 2.
Comme pour x = 2, on a :
(2)² - 4(2) - 2 - m = 4 - 8 - 2 - m
= -6 - m
= -(6 + m)
Les coordonnées du point I, milieu de [M'M"] sont donc : (2 ; -6 - m)
c) L'ensemble des points I quand m varie correspond à l'ensemble des points (2 ; -6 - m).
Or tous ces points ont pour x = 2 pour abscisse commune.
L'ensemble des points I quand m varie est donc la droite d'équation x = 2.
[Tout le point 2 est confirmé par le graphique :
g₀ (en bleu) étant la courbe d'équation x² - 4x - 2 + 0
les autres des variations de cette équation par différentes valeurs de m
et la droite verticale la droite d'équation x = 2]
