ABCDEFGH est un cube de coté egal à 4 cm. I est un point de [EH], distinct de E et de H.On considère le plan (P) parallèle au plan (EBG) passant par I. On cherche à tracer la sectiondu cube par le plan (P).
1) Montrer que I n'est pas dans le plan (BEG), puis que l'intersection de (P) avec (EFG) est la droite (d₁) passant par I et parallèleà (EG).
On appelle J l'intersection de droite (d₁) avec [HG]. En déduire la trace de la section dans la face EFGH.
Puisque I ∈ (HE)
et que (HE) est sécante en E à (EG) et à (EB),
alors I ∉ (EBG)
Puisque (EBG) ⋂ (EFG) est la droite (EG), diagonale du carré EFGH
et que (P) // (EBG) par construction
alors (P) ⋂ (EFG) est une droite (d₁) // (EG)
Comme I ∈ (EFG) car I ∈ (HE) côté du carré EFGH,
et que I ∈ (P) par construction
alors (P) ⋂ (EFG) est une droite (d₁) // (EG) et passant par I
Puisque I ∈ (d₁)
et que J ∈ (d₁)
alors (IJ) est la même droite que (d₁) // (EG)
Comme I ∈ [HE] et J ∈ [HG] avec [HE] et [HG] côtés de EFGH
alors la section de (d₁) dans la face EFGH est le segment [IJ] // (EG)
2) Montrer que (IJ) est (FG) sont sécantes en un point R, puis que l'intersection de (P) avec (BCG) est la droite (d₂) passant par R et parallèle à (BG).
On appelle K et L les intersections de la droite (d₂) avec [CG] et [BC]. En déduire la trace de la section dans face BCGF.
Puisque (EG) ∈ (EFG)
et que (IJ) ∈ (EFG)
alors (EG) et (IJ) sont coplanaires
Comme (EG) // (IJ) en lui étant coplanaire
et que (EG) est sécante à (FG) en G
alors (IJ) est aussi sécante à (FG) en un point R.
Puisque (P) // (EBG)
et que (EBG) ⋂ (BCG) est la droite (BG), diagonale du carré BCGF
alors (P) ⋂ (BCG) est une droite (d₂) // (BG).
Comme R ∈ (BCG) car R ∈ (FG) et que [FG] est un côté du carré BCEF,
et que R ∈ (P) puisqu'il est sur la droite (IJ) ∈ (P)
alors (P) ⋂ (BCG) est une droite (d₂) // (BG) et passant par R.
Puisque K ∈ (d₂)
et que L ∈ (d₂)
alors (KL) est la même droite que (d₂) // (BG)
Comme K ∈ [CG] et L ∈ [BC] avec [CG] et [BC] côtés de BCGF
alors la section de (d₂) dans la face BCGF est le segment [KL] // (BG)
3) Montrer que (IJ) et (EF) sont sécantes en un point S, puis que l'intersection de (P) avec (ABE) est la droite (d₃) passant par S et parrallèle à (BE).
On appelle M et N les intersection de la droite (d3) avec [AE] et [AB]. En déduire la trace de la section dans la face ABFE.
Puisque (EG) // (IJ) en lui étant coplanaire (comme prouvé en 2)
et que (EG) est sécante à (EF) en E
alors (IJ) est aussi sécante à (EF) en un point R.
Puisque (P) // (EBG)
et que (EBG) ⋂ (ABE) est la droite (EB), diagonale du carré ABFE.
alors (P) ⋂ (ABE) est une droite (d₃) // (BE).
Comme S ∈ (ABE) car S ∈ (EF) et que [EF] est un côté du carré ABFE,
et que S ∈ (P) puisqu'il est sur la droite (IJ) ∈ (P)
alors (P) ⋂ (ABE) est une droite (d₃) // (BE) et passant par S.
Puisque M ∈ (d₃)
et que N ∈ (d₃)
alors (MN) est la même droite que (d₃) // (BE)
Comme M ∈ [AE] et N ∈ [AB] avec [AE] et [AB] côtés de ABFE
alors la section de (d₃) dans la face ABFE est le segment [MN] // (BE)
4) Finir de tracer la section
Cf. fichier joint : la section est en bleu.
