1) L'équation x² - x + 1 a pour discriminant :
Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
Comme son discriminant est négatif, cette équation n'admet pas de racine réelle.
[Cela est d'ailleurs confirmé par la courbe (bleue) de cette équation que l'on peut trouver en pièce jointe.]
2) (x² - x + 1)² = (x² - x + 1) (x² - x + 1)
= x² (x² - x + 1) - x (x² - x + 1) + 1 (x² - x + 1)
= (x⁴ - x³ + x²) - (x³ - x² + x) + (x² - x + 1)
= x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 1
[Confirmation par les courbes verte et rouge sur le fichier joint]
L'équation (x² - x + 1)² est le carré de l'équation précédente.
Or un carré est toujours positif ou nul.
Cette équation est donc toujours positive ou nulle.
Or le seul carré nul est le carré d'un nombre nul.
Cette équation est donc nulle pour les même valeurs que l'équation précédente.
Or l'équation précédente est toujours strictement positive.
Cette équation est donc strictement positive et n'admet donc également aucune racine.
[Cela est d'ailleurs confirmé par la courbe (rouge) de cette équation que l'on peut trouver en pièce jointe.]
