Exercice 1 :
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1) 2 / (3x - 1) - 3x / (3x + 1) = 4 / (9x² - 1) - 1
pour tout x ≠ {-1/3 ; 1/3}
[2(3x + 1) - 3x(3x - 1)] / [(3x - 1) (3x + 1)] = [(4 - (9x² - 1)] / [(3x)² - 1²)]
6x + 2 - 9x² + 3x = -9x² + 5
-9x² + 9x + 2 + 9x² - 5 = 0
9x - 3 = 0
x = 1/3
Qui est hors de l'ensemble de définition initial, donc pas de solution.
2) 4 / (2x - 3) ≥ 2x - 3 pour tout x ≠ 3/2
a. Si 2x - 3 > 0 on a :
4 ≥ (2x - 3)² pour x > 3/2
0 ≥ 4x² - 12x + 9 - 4
0 ≥ 4x² - 12x + 5
Comme 4x² - 12x + 5 a pour discriminant : (-12)² - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 = 8²
Qui est un nombre positif, ses racines sont :
— (12 - 8) / 2(4) = 4/8 = 1/2
— (12 + 8) / 2(4) = 20/8 = 5/2
Comme 4 > 0, l'équation 4x² - 12x + 5 est négative entre ses racines,
soit pour x ∈ [1/2 ; 5/2]
Pour x > 3/2, l'ensemble solution est donc : x ∈ ]-∞ ; 1/2]
b. Si 2x - 3 < 0 on a :
4 ≤ (2x - 3)² pour x < 3/2
0 ≤ 4x² - 12x + 5
Or l'équation 4x² - 12x + 5 est négative entre ses racines,
soit pour x ∈ [1/2 ; 5/2]
Pour x > 3/2, l'ensemble solution est donc : x ∈ ]3/2 ; 5/2]
c. En conclusion, on a :
4 / (2x - 3) ≥ 2x - 3 avec x ≠ 3/2
pour x ∈ ]-∞ ; 1/2] U ]3/2 ; 5/2]
