Exercice IV :
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1) Cf. le fichier joint.
La droite D (en bleu) d'équation y = -2x + 1 a pour :
— ordonnée à l'origine : y = -2(0) + 1 = 1
— point d'intersection avec l'axe des abscisses le point (0,5 ; 0) car
-2x + 1 = 0 pour -2x = 1 soit pour x = 1/2
La droite D' (en rouge) d'équation y = 5x + 3 a pour :
— ordonnée à l'origine : y = 5(0) + 3 = 3
— point d'intersection avec l'axe des abscisses le point (-3/5 ; 0) car
5x + 3 = 0 pour 5x = -3 soit pour x = -3/5
2) Le point d'intersection E de D et D' est tel que :
-2x + 1 = 5x + 3 soit -7x = 2 soit x = -2/7
Or pour x = -2/7, on a :
y = -2(-2/7) + 1 = 4/7 + 1 = 4/7 + 7/7 = 11/7
ou encore :
y = 5x + 3 = 5(-2/7) + 3 = -10/7 + 21/7 = 11/7
Le point d'intersection est donc : E (-2/7 ; 11/7)
3) On voit graphiquement que pour que -2x + 1 < 0, il faut que x > 1/2
et que pour que 5x + 3 > 0, il faut que x > -3/5
Les solutions pour avoir les deux conditions sont x ∈ ]1/2 ; +∞[
Exercice V :
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N.B. : L'équation donnée dans l'énoncé est mal écrite : on voit le carré qui se promène.
1) c(x) = (4x + 1) (-x + 2) / (4 - x²) pour tout x² ≠ 4 soit x ∈ {-2 ; 2}
= (4x + 1) (-x + 2) / ((2 - x) (2 + x))
= (4x + 1) / (2 + x)
2) La représentation graphique de la fonction c est une hyperbole car c'est une fonction de la forme 1/x.
3) Les deux asymptotes sont :
— en abscisses x = -2 car pour cette valeur le dénominateur (2 + x) serait nul, ce qui est impossible ;
— en ordonnées y = 4 car plus la valeur absolue de x est grande, plus on approche de 4/1 soit de 4.
4) Voir le deuxième fichier joint.
Placer le point d'abscisse 0 dont l'équation est :
c(0) = (4(0) + 1) / (2 + (0))
= 1/2
Les coordonnées de ce point sont donc : F(0 ; 1/2)
