N.B. : sauf indication contraire, comprendre AB comme le vecteur AB.
Partie C :
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8) OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
= 2 OA' - A'C + A'C
= 2 OA'
AK = OK - OA = OA + OB + OC - OA
= OB + OC
= 2 OA'
9) Comme (OA') est la médiatrice du segment [BC], elle lui est nécessairement perpendiculaire.
Et comme nous venons de démontrer que AK est collinéaire à OA', (AK) est donc aussi perpendiculaire à (BC)
Par le même raisonnement, on prouve que (BK) est perpendiculaire à (AC)
10) Comme (AK) est la perpendiculaire à (BC) passant par A et (BK) la perpendiculaire à (AC) passant par B, (AK) et (BK) sont deux droites confondues avec les hauteurs du triangle ABC.
Or deux hauteurs d'un triangle se coupent à l'orthocentre de ce triangle.
K est donc confondu avec H l'orthocentre du triangle ABC.
Et comme : OK = OA + OB + OC
et que K et H sont confondus, on a aussi : OH = OA + OB + OC
11) Continuer la figure.
Partie D :
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12) Comme on a : 3 OG = OA + OB + OC
et que OH = OA + OB + OC
les vecteurs OG et OH sont collinéaires.
Ces deux vecteurs ayant de plus le point O en commun, sont sur la même droite.
Donc O, H et G sont alignés dans cet ordre.
