A)1) f(x)=(3x-1)/(x+1)
f'(x)=5/(x+1)² donc f est croissante sur IR+
donc (par récurrence) (u(n)) est croissante
2) conjecture : (u(n)) converge vers 3
3) a) u(n)=f(n)=(3n-1)/(n+1)
=(3n+3-4)/(n+1)
=(3n+3)/(n+1)-4/(n+1)
=3-4/(n+1)
b) à partir de n=3999 : 2,999 < u(n) <3
B) 1) conjectures :
* (v(n)) est décroissante
* (v(n)) est minorée par 1 et majorée par 3
* (v(n)) est convergente vers 1
2) a) w(n+1)=(v(n+1)+1)/(v(n+1)-1)
=((3v(n)-1)/(v(n)+1)+1)/((3v(n)-1)/(v(n)+1)-1)
= (3v(n)-1+v(n)+1)/(3v(n)-1-v(n)-1)
=(4v(n))/(2v(n)-2)
=(2v(n))/(v(n)-1)
=(2v(n)-2+2)/(v(n)-1)
=2+2/(v(n)-1)
or w(n)=(v(n)+1)/(v(n)-1)
=(v(n)-1+2)/(v(n)-1)
=1+2/(v(n)-1)
donc w(n+1)=w(n)+1
donc (w(n)) est arithmétique de raison r=1
b) w(n)=w(0)+n=n+2
donc v(n)+1=(n+2)(v(n)-1)
donc v(n)+1=nv(n)+2v(n)-n-2
donc v(n)=(n+3)/(n+1)
c) v(n)=(n+1+2)/(n+1)
=(n+1)/(n+1)+2/(n+1)
=1+2/(n+1)
donc a=2
d) soit g(x)=1+1/(x+1)
g'(x)=-1/(x+1)²<0 donc g est décroissante
donc (par récurrence) (v(n)) est décroissante
e) 1/(n+1)>0 donc v(n)>1
et 1/(n+1)<2 donc v(n)<3
ainsi 1 < v(n) <3
de plus (v(n)) est décroissante et minorée par 1 donc (v(n)) est convergente
sa limite L vérifie lim(g(x))=L
or lim(g(x))=lim(1+2/(x+1))=1+0=1
donc L=1
