Sagot :
Soit n un entier relatif supérieur ou égal à 2
On pose a= n+3 et b= 2n+1
a) Calculer (2a-b), en déduir les valeurs possibles de d = PGCD(a;b)
2a-b=2(n+3)-(2n+1)
=2n+6-2n-1
=5
ainsi : 2*a+(-1)*b=5
d'apres le th de Bezout : pgcd(a,b)=5
b) Montrer que PGCD(a;b)=PGCD(n-2;5)
pgcd(a,b)=pgcd(b-a,2a-b)
or b-a=(2n+1)-(n+3)
=2n+1-n-3
=n-2
et 2a-b=5
donc pgcd(a,b)=pgcd(n-2,5)
c) Démontrer que a et b sont pultiples de 5 si et seulement si (n-2) est multiple de 5
a et b sont multiples de 5 si a=5k et b=5k'
donc si pgcd(a,b)=5
alors pgcd(n-2,5)=5
donc n-2=5k"
donc n-2 est multiple de 5
