Bonjour, merci de penser à ajouter une formule de politesse quand tu postes un devoir.
[tex] \\ [/tex]
[tex] \blue{\boxed{\sf{ \bold{\red{{x}^{2} + \dfrac{11}{3}x - \dfrac{20}{3} = 0}}}}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
En considérant que les deux nombres réels donnés sont les deux seules racines de l'équation que nous cherchons, nous pouvons partir du principe que nous allons devoir trouver une équation du second degré.
Pour rappel, une équation du second degré peut s'écrire sous la forme suivante:
[tex] \sf{\green{a}x^{2} + \orange{b}x + \purple{c} = 0} \\ \sf{O\grave{u} \: \: \: \green{a} \: \neq \: 0} [/tex]
Nous allons nommer notre polynôme P(x) pour ainsi obtenir l'écriture qui suit:
↣P(x) = 0
Nous allons maintenant introduire la notion de factorisation d'un polynôme possédant deux racines réelles. En effet, tu dois savoir qu'un polynôme peut s'écrire sous forme développée ou bien factorisée.
Chaque trinôme du second degré possédant deux racines peut être factorisé de la façon suivante:
[tex] \sf{P(x) = \pink{a}(x - \red{x_1})(x - \blue{x_2})} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf{O\grave{u} \: \: \pink{a} \: est \: un \: nombre \: r\acute{e}el \: diff\acute{e}rent \: de \: 0 \: et \: o\grave{u} \: \red{x_1} \: et \: \blue{x_2} \: sont \: les \: \underline{ \bold{racines}} \: du \: trin\hat{o}me.} [/tex]
▪️De ce fait, nous obtenons ceci:
[tex] \sf{P(x) = 0} \: \: \Longleftrightarrow \: \: \pink{a}(x - \red{x_1})(x - \blue{x_2}) = 0 [/tex]
[tex] \\ [/tex]
▪️À présent, plaçons les racines qui nous sont données dans notre formule:
[tex] \implies \sf{ \: \pink{a}(x - \red{x_1})(x - \blue{x_2}) = 0} \: \: \\ \\ \implies \sf{ \: \pink{a}(x - \red{(-5)})(x - \blue{\dfrac{4}{3}}) = 0} \\ \\ \implies \sf{ \: \pink{a}(x + 5)(x - \dfrac{4}{3}) = 0} \: \: \: \: \: \: [/tex]
Comme indiqué précédemment, la valeur de [tex] \: \pink{a} \: [/tex] doit être différente de 0. Ici, nous allons prendre [tex] \: \pink{a = 1} \: [/tex] pour nous faciliter la tâche.
[tex] \implies \sf{\pink{1}(x + 5)(x - \dfrac{4}{3}) = 0} [/tex]
▪️Il ne nous reste désormais plus qu'à développer l'expression que nous avons.
[tex] \implies \sf{\pink{1}( \green{x} \red{+ 5})( \blue{x} \orange{- \dfrac{4}{3}}) = 0} \\ \\ \implies \sf{\pink{1}\Bigg( \green{x}\times \blue{x} + \green{x}\times \orange{(- \dfrac{4}{3})} + \red{5}\times \blue{x} + \red{5}\times \orange{(- \dfrac{4}{3})}\Bigg) = 0}\\ \\ \implies \sf{\pink{1}\Bigg(x^{2} - \dfrac{4}{3}x + 5x - \dfrac{20}{3}\Bigg) = 0} \\ \\ \implies \sf{\pink{1}\Bigg(x^{2} + \dfrac{11}{3}x - \dfrac{20}{3}\Bigg) = 0} \\ \\ \blue{ \boxed{ \red{ \sf{\implies x^{2} + \dfrac{11}{3}x - \dfrac{20}{3} = 0} \: \: \: \: \: \: \: \: }}}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf{Par \: cons\acute{e}quent, \: \red{ \sf{ x^{2} + \dfrac{11}{3}x - \dfrac{20}{3} = 0} } \: est \: \underline{\bold{UNE}} \: \acute{e}quation \: admettant \: -5 \: et \: \dfrac{4}{3} \: comme \: racines.} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Il est important de comprendre que le nombre d'équations qui ont les mêmes racines que le polynôme determiné précédemment est infini. Tout dépend de la valeur que tu mets pour [tex] \pink{a} [/tex].
[tex] \\ [/tex]
▪️J'ai survolé le sujet du développement d'une expression et plus particulièrement ici, de la double distributivité. Si tu souhaites approfondir tes connaissances sur ce sujet, je te conseille de consulter le lien suivant:
⇢https://nosdevoirs.fr/devoir/5012324
[tex] \\ \\ [/tex]
Bonne journée.
