Pour montrer qu'elles ont la même limite, on va montrer que la limite de la différence est nulle :
lim(vn-un) = lim (ln(n+1)+1/n - ln(n+1)) = lim (1/n) =0 quand n tend vers + infini bien sûr.
Pour montrer qu'elles sont adjacentes, il suffit maintenant de montrer que l'une est croissante et que l'autre est décroissante :
f(x)= ln(x+1) d'où f ' (x) = 1/(x+1) qui est strictement positif pour x>0 donc Un= ln(n+1) est une suite strictement croissante.
f(x)= ln(x+1) + 1/x d'où f ' (x) = 1/(x+1) - 1/x² = (x²-x-1)/(x²(x+1))
le dénominateur de f ' est strictement positif donc le signe de f' dépend du signe du numérateur
delta = b²-4ac = 5 donc deux solutions qui sont x= (1+-racine(5))/2 c'est à dire x= 1.62 ou
x = -0.62 donc f est décroissante entre 0 et (1+racine(5))/2 puis croissante à partir de
(1+racine(5))/2
Donc la suite Vn=ln(n+1)+1/n est croissante à partir de n=2
Finalement, les deux suites ne sont pas adjacentes
