Dans l'espace muni du repère orthonormé (0 : i, j, k) d'unité 1 cm, on consi-
dère les points A(2; 1; 4), B(4:-1; 0), C(0; 3; 2) et D(4:3; -2).
1. Montrer que v=i-k est un vecteur directeur de (CD).
2. Soit M un point de la droite (CD).
a. Montrer qu'il existe un nombre réel 1 tel que CM = t*v.
b. Montrer que les coordonnées du point M en fonction du nombre réel t
sont (t : 3;2;1).
c. Déterminer les coordonnées de BM, puis exprimer BM en fonction de t.
d. On note ƒ la fonction définie sur R par f(x) = x^2 - 6x + 18.
Établir le tableau de variations de la fonction f sur R.
e. En déduire les coordonnées du point M telles que la distance BM soit
minimale.
3. On note H le point de coordonnées (3; 3; -1).
a. Montrer que le point H appartient à la droite (CD).
b. Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm².
4. a. Démontrer que le vecteur n = 2i+j+ 2k est un vecteur normal au
plan (BCD).
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.