Exercice 5 Soit H = R", muni de sa norme euclidienne || ||.
SCHx||² - 1)² si ||x|| ≤ 1
si ||x|| 21
On pose ß(t) = {(t− 1)² si t ≤ 1
g(x) = {(1|x||² 0
sit 21
1) Montrer que ß est de classe C¹ sur R.
2) Montrer que g est de classe C¹ sur R" et calculer sa différentielle. Indication : Utiliser 3.
3) Montrer que pour tout t € [0, 1], on a t(1 − t²) ≤ 3√3
2
4) Montrer que pour tout x, h E R", on a Dg(x). h|≤
8
5) En déduire que : Vx,y € R¹, g(x) – g(y)| ≤x-y.
3√3 || h ||.
8
3√3