On considère la suite définie par :
U1 = 1/3
Un+1= (n+1/3n)*Un, pour tout entier naturel n ≥ 1

1. Calculer U2, U3 et U4
2. On pose Vn = Un/n pour tout entier n ≥ 1.

Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, Vn+1=(1/3) *Vn

En déduire que la suite (v₁) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

3.Montrer que Un = n*(1/3)**n pour tout entier n ≥ 1.

4. Montrer que Un +1 -Un =(1/3)**n+1 *(1 - 2n) pour tout entier n ≥ 1. En déduire le sens de variation de la suite (Un).
5.On considère l'algorithme ci-dessous
n=1
Tant que n*(1/3)**n > epsilon
n=n+1 3 n
a. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exé- cution de cet algorithme, lorsque epsilon = 10**-3 ?
b. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exe- cution de cet algorithme lorsque epsilon = 10**-6 ?
c. Vers quelle valeur semble tendre la suite (Un) lorsque n tend vers +∞ ?​