DM n°2- Fractions et Pythagore Exercice 1: De π en π Le nombre π (lu «pi ») est, dans le domaine des mathématiques, un des nombreux nombres dit irrationnels, c'est-à-dire qu'il ne possède pas de valeur décimale ni d'écriture fractionnaire. Cependant, un domaine des mathématiques, appelé Analyse des séries, permet parfois d'approcher, de manière relativement fiable, des valeurs de nombres irrationnels. Le mathématicien suisse Léonhard EULER (1707-1783) utilisa ce domaine des séries afin de déterminer la formule suivante : 1 1x2 1x2x3 1x2x3 x 4 π = 2 x 1+=+ + 3 3 x 5 3x5x7 3x5x7x9 Les points de suspensions signifiant que cette somme ne s'arrête jamais. Ainsi, en utilisant cette formule, on peut alors donner des valeurs approximatives de de plus en plus précises comme ceci : P2 = 2 x (1+ P4 = 2 x (1 + 2×(1 P₁ = 2 x 1 = 2 8 P3 = 2 x 1 + 3 + = 1 1 x ( 1 + ²/3 + ¹ X ² ) = 3 x ≈2,667 44 15 ≈2,933 + ... 1x2 1x2x3 64 = ≈3,048 3 x 5 3x5x7) 21 + Et ainsi de suite. En utilisant cette formule, Euler réussi à déterminer les 20 premières décimales de en 15 minutes. Réussirez-vous à déterminer, à l'aide de cette formule, jusqu'à 2 décimales (soit, jusqu'à 3,14) ? Détailler les calculs.
