Le but de ce DM est d'étudier la dérivabilité de la fonction sin en 0. sin(z) 1. On définit la fonction tangente, notée tan, par tan(x) = cos(z) (a) Quel est l'ensemble de définition de tan. (b) Soit ABC un triangle rectangle en B. BC Montrer que tan(BAC) = AB 2. Donner une expression simplifiée de 7(2), le taux de variation de la fonction sin entre 0 et z. 3. On veut obtenir un encadrement de T(x). Pour cela, on considère le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), le point T(1; 1). C le cercle trigonométrique et M le point obtenu par enroulement de l'abscisse z de (IT) sur C. (a) Réaliser une figure avec l'ensemble des objets géométriques indiqués en préambule, tracer la droite (OM): on note N l'intersection de (OM) et de (IT). (b) Déterminer l'aire A₁ du triangle OMI. (On pourra utiliser le projeté orthogonal de M sur (01)). (c) Déterminer l'aire A₂ du secteur angulaire OMI ¹. tan(r) 2 (d) Montrer que l'aire A3 du triangle ONI vaut A3 = (e) Comparer les aires A1, A2 et A3. 4. Déduire de la question précédente que pour x E] - ; 0[U]0; T[, cos(x) < T(x) < 1. 5. Quel est la limite de cos(x) lorsque x tend vers 0? Qu'en déduisez vous pour la limite de 7(x) en 0? Et sur la dérivabilité de sin en 0? il n'est pas interdit de se rappeler que l'aire d'un secteur angulaire de rayon R. d'angle a est
