Alors que le bateau navigue selon un cap donné, le com- mandant repère un récif. Il mesure un angle de 25° entre la direction du cap et celle du récif. Un mille plus loin, cet angle est de 35°. Pour des raisons de sécurité, le commandant veut passer à au moins 1,5 mille du récif. On souhaite déterminer si le bateau doit changer de cap.

La figure ci-dessous schématise la situation: R représente la position du récif, A et B les deux positions du bateau à partir desquelles les mesures d'angles ont été faites. La position du bateau lorsqu'il sera au plus près du récif s'il ne change pas de cap est caractérisée par le projeté orthogonal H de R sur (AB).

R

25°

35°

H

A

B

RH

1. Justifier que AH=

tan25°

2. a. Exprimer RH en fonction BH et de l'angle HBR = 35°.

b. En utilisant la relation de la question 1, montrer que

RH = tan35 x tan25 tan35-tan25

3. Le commandant doit-il changer de cap?