a 4,05 km du pied d'une colline, Pablo aperçoit seulement la
D'un point P situé dans la
cime C d'un arbre planté sur l'autre versant de la colline.
Pour modéliser cette situation en coupe, on choisit un repère dont l'axe des abscisses est le sol
de la vallée (unité: 1 km) et tel que l'ordonnée d'un point soit sont altitude par rapport au sol de
la vallée (unité : 1 km).
Dans ce repère, la forme de la colline est modélisée par un arc de la parabole d'équation:
y = 1-x², où-1 ≤x≤ 1.
Enfin, on suppose que la distance au sol entre l'arbre et le sommet de la colline est égale à 20 m
(voir schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle).
P
4,05 km
1-1
A
On se propose de calculer la hauteur de cet arbre.
Soitf:X + 1-x², où-1 ≤x≤ 1.
20 m
C
1
2. En utilisant les coordonnées du point P, montrer que a = -0,1.
3. En déduire l'ordonnée du point C, puis la hauteur de l'arbre.
Q?
1. On note A le point du segment [PC] situé sur la colline et a son abscisse.
a. Calculer le taux de variation de f en a, puis justifier que f'(a) = -2a.
b. En déduire que la droite (PC) a pour équation réduite y = -2ax + a² + 1.