Au IIIe siècle avant Jésus-Christ, le mathématicien Grec Eratosthène réussit à évaluer le périmètre de la terre Il observa que le jour du solstice d'été, à midi, les rayons du soleil éclairaient le fond des puits à Syene, tandis qu'au même moment à Alexandrie un obélisque formait une ombre. Ainsi, les rayons du Soleil étaient à la verticale à Syène et au même moment inclinés de 7,2° avec la verticale à Alexandrie. Eratosthène savait que la distance entre les deux villes était de 5 000 stades (1 stade 157,5 mètres); il supposa de plus que ces deux villes étaient situées sur le même méridien et que les rayons du soleil étaient parallèles. Tropique Equateur Η ontbre Centre de la Terre Obelisque Alexandrie 5000 stades Syène Rayons du Soleil Le but de cet exercice est de déterminer, par la méthode utilisée par Eratosthène, la longueur de la circonférence de la Terre. y
1. (a) Justifier par une courte phrase pourquoi Eratosthène considère les demi-droites [Hr) et [Sy) comme parallèles. (b) Expliquer, en citant une propriété du cours, que les angles ACS et AOH sont égaux.
2. Eratosthène fit ensuite un raisonnement de proportionnalité : la distance séparant les villes est propor- tionnelle à la mesure de l'angle dont le sommet est au centre de la Terre. (a) Calculer la distance séparant Syène et Alexandrie en kilomètres. (b) Recopier puis compléter le tableau de proportionnalité suivant en utilisant les données de l'énoncé : Entre S et A Tour de la Terre
3. Aujourd'hui, on estime la circonférence de la Terre à 40 070 km. Que dire par rapport à la valeur trouvée par Eratosthène? Angle au centre (en °) Distance (en km) (c) Donner, en justifiant par un calcul, la valeur manquante du tableau. Conclure. ?
4. Archimède est un contemporain d'Eratosthène et a déterminer cette formule donnant le lien entre le périmètre d'un cercle et son diamètre : P~ 3, 14285 x d. En utilisant le périmètre de la Terre obtenu à la question 2.(c) et la formule d'Archimède, trouver une valeur approchée du rayon de la Terre.
