Exercice 2: Démontrer que √√2 est irrationnel
Méthode
Pour démontrer par l'absurde, on prend comme
hypothèse la négation de la proposition à démon-
trer et on en dédult une contradiction.
On suppose que √2 est un nombre rationnel, c'est-
à-dire qu'il s'écrit sous forme irréductible où p et
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q sont des nombres entiers naturels non nuls.
1. a) Justifier qu'alors p² = 2q².
b) En déduire la parité de p².
2. a) Compléter le tableau ci-dessous indiquant le
dernier chiffre de p² en fonction de celui de p.

b) En déduire les derniers chiffres possibles de p².
3. Construire de même un tableau indiquant le
dernier chiffre de 2q2 en fonction de celui de q.
4. a) Comme p² = 2q2, déterminer le dernier
chiffre de p et les derniers chiffres possibles de q.
b) est-il irréductible ? Conclure.