Bonjour, j’aurais besoin d’aide s’il vous plait! Merci d’avance !
L'objet du problème est d'étudier la fonction f définie sur
R par f(x) = (2x + 1) e, puis de calculer, à l'aide d'une
suite définie par récurrence, une valeur approchée d'une solu-
tion de l'équation f(x)=x

On note C la courbe représentative de f dans un plan rapportée
à un repère orthonormé (0, 1.J) (unité graphique : 4 cm).
A)
1) a) Étudier le sens de variation de f dans R.
b) Calculer les limites de fen -∞ et +∞0
c) Préciser la position de C par rapport à son asymptote
en +00.
2) Construire la courbe C.
B) 1) a) Montrer que l'équation, f(x)=x admet deux solutions dont l'une, alpha, appartient à l'intervalle I = [1 ; 5/4]
b) Calculer f(1) et f(5/4)puis, en utilisant le sens de variation de f, montrer que, pour tout élément x de I, f(x) appartient à l.
2) a) Montrer que, pour tout élément x de I:
|f'(x)| < ou = 1/2
Pour obtenir ce résultat, on calculera f"(x) et on étudiera les
variations de f' sur I.
b) En déduire que, pour tout élément x de I:
|f(x) - apha l < ou = 1/2 |x-alpha|.
3) Soit (un) la suite définie par la relation de récurrence :
U(n+1)=f(un)
et la condition initiale u(0)=1
a) Prouver que, pour tout entier n positif ou nul :
|u(n+1) - αlpha | < ou = 1/2 |u(n) - alpha|
b) Montrer que |un - alpha| < ou = 1/2*n+2
En déduire la convergence de la suite (un) et indiquer sa
limite.
c) En utilisant l'inégalité précédente, déterminer un entier p tel |u(p) - alpha|