Exercice 12 Au 1 janvier 2019, un étang contient 3 000 m³ d'eau. La population de poissons ne peut survivre que s'il y a au moins 2 500 m³ d'eau dans l'étang. Le maire de la commune sur laquelle se trouve cet étang a commandé une étude qui indique qu'en raison de la nature des sols, l'étang perd chaque année 5 % du volume d'eau qu'il avait en début d'année et est naturellement alimenté, au cours de chaque année, par 76 m³ d'eau. On modélise l'évolution du volume d'eau de cet étang par une suite u où u(n) désigne la quantité d'eau, en mètre cube, contenue dans l'étang, le 1 janvier de l'année 2019 + n On a donc u(0) = 3 000. 1. Montrer que u(1) = 2926. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u(n + 1) : 3. À l'aide d'un tableur, le maire de cette commune a calculé les huit premiers termes de la suite. Sur la capture d'écran ci-dessous, les valeurs affichées ont été arrondies à l'unité. 2 (m) 3000 C 2926 D 2 2856 = 0,95 u(n) + 76. 3 4 2725 3 2663 M 2608 Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les premiers termes de la suite u ? 4. A partir de quelle année la quantité d'eau dans l'étang devient insuffisante pour la subsistance des poissons de cet étang ? Expliquer la démarche utilisée.
