Bonjour a tous.
J'ai aujourd'hui un problème concernant un gros exercice en faite je n'ai pas eu le cour sur ce dernier exercie et je dois vite le règler. Donc ce serait incroyable si vous pouver fournir réponse et explication.
J'en serai très reconnaissant, voici l'exercice :
La méthode de Cardan.
L'objectif de cet exercice est de découvrir la méthode de Cardan pour résoudre des équations polynomiales de degré 3 de la forme :x³+px+q=0.
1. Soit u et v deux réels.Montrer que:
(u+)³-3u×v(u+v)-(u³+v³)=0.
2.Ainsi, en posant le changement de variable x=u+v, on obtient (E'):x³-3×u×v×x-(u³+v³)=0.
On cherche donc u et v tels que u×v= -p/3 et u³+v³ = -q. Ou encore, on cherche u et v tels que u³×v³= -p³/27 et u³+v³=-q.
si on pose alpha=u³ et beta=v³, cela revient à chercher alpha et beta dont on connaît la somme S et le produit P: P=alpha par beta= -p³/27 et S= alpha + beta =-q.
a. Donner une équation du second degré dont alpha et beta sont solutions.
b. Déterminer, en fonction de p et q, le discriminant delta de cette équation.
c. Dans le cas où delta est supérieur ou égale à zéro, donner, en fonction de p et q, les solutions de cette équation du second degré.
d. En déduire une solution de l'équation (E).
3. Résoudre l'équation :x³-36x-91=0.(On utilisera la méthode de Cardan pour trouver une solution x0 puis on factorisera le polynôme par (x-xo) grâce à la méthode de son choix.).
Si ce qe j'ai ecrit n'est pas clair, je rajoute la photo de l'exercice dans le manuel. Je vous remercie d'avance et espère obtenir une réponse d'ici un ou deux jours.
Bonne journée.
