2. On note C, le capital restant dû à la banque à la fin de la n-ième année. Ainsi C₁ = 120 000.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Cn+1 = 1,015Cn-13012,2.
b) Déterminer une suite constante vérifiant la relation de récurrence suivie par la suite (C₁), puis
en déduire une expression de C, en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (Cn) et vérifier que le capital restant dû après 10 années est inférieur à 0.
Partie B: cas général
On se propose de trouver une formule qui permet de calculer une annuité a connaissant un capital emprunté C sur un nombre N d'années à un taux annuel t en pourcentage. Ainsi C0= C.
a) Démontrer que la suite (Cn) vérifie la relation (R): pour tout entier naturel n, Cn+1 = (1+t)Cn-a.
b) Démontrer qu'une suite constante vérifiant la relation (R) est la suite (Qn) définie sur N par Q₂ = a/t. En déduire que pour tout entier naturel n, Cn = (1+t)^n x (C-a/t) + a/t
c) Expliquer pourquoi CN = 0.
.
d) En déduire que a=(-t(1+t)^N x C)/(1-(1+t)^N)
e) Vérifier le montant de la mensualité payée par Léo dans la simulation de la partie A.