Partie A: le nombre d'or :
Dans cet exercice, on prend 5 cm comme unité de longueur.
Soit ABCD un rectangle de longueur AB = z avec 1 < x < 2 et de largeur AD = 1.
x
Soit E sur [AB] et F sur [CD] tels que AEFD soit un carré.
1. Faire une figure.
2. On appelle format d'un rectangle le quotient de la longueur par la largeur de ce rectangle.
Exprimer, en fonction de z, les formats de chacun des rectangles ABCD et EBCF.
3. On dira que ABCD un rectangle d'or si et seulement si le nouveau rectangle EBCF a le même format
que le rectangle ABCD.
Montrer que ABCD un rectangle d'or si et seulement si x²-x-1=0. (*)
4. La valeur de z pour laquelle ABCD est un rectangle d'or est appelée «nombre d'or »noté p. Déterminer
la valeur exacte de p, l'autre solution de (*) sera notée ß.
5. Avec peu de calculs, démontrer les égalités :
(a) p²=p+1, (b) ² =B+1, (c) y + B = 1,
(d) p-B=√5,
(e) ² + ² = 3.