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Afin de construire la courbe fractale ci-après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même pro- gramme de construction. On partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base. Voici les 3 premières étapes de construction pour un côté.

1. Nombre de côtés. Pour tout entier naturel n ≥ 1, on note c, le nombre de côtés du flocon à l'étape n.
a. Déterminer les quatre premières valeurs de la suite (c₁).
b. Prouver que la suite (c₁) est géométrique. c. Exprimer c, en fonction de n.

2. Périmètre du flocon. Pour tout entier naturel n>1, on note la longueur d'un segment à l'étape n.
a. Prouver que la suite (₁) est géométrique. b. Exprimer en fonction de n.
c. Pour tout entier naturel n ≥ 1, on note p₁ le péri- mètre d'un flocon à l'étape n. 42-1 Prouver que p₁ = 30, × (77) ² x 3
d. Si le côté du triangle initial est de 10 cm, le périmètre peut-il dépasser 1 km ? Si oui, à quelle étape ? ​