86 [Modéliser, Communiquer.
D'après bac ST2S, Métropole, 2013
Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection
intramusculaire d'une dose d'une substance médica-
menteuse au temps t=0, t étant exprimé en heure.
Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progres-
sivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la
concentration du produit actif dans le sang est supé-
rieure ou égale à 25 mg/L (25 milligrammes par litre).
La concentration maximale du produit actif dans le sang
ne peut pas dépasser 40 mg/L pour éviter des effets
secondaires.
Partie A: Étude graphique
La courbe donnée ci-dessous représente la concentration
en mg/L du produit actif dans le sang du malade en fonc-
tion du temps écoulé depuis l'injection du médicament.
Concentration (mg/L)
35+
25
0
Temps (h)
À l'aide de cette courbe, répondre, avec la précision que
permet le graphique, aux questions suivantes.
1. Déterminer la concentration du produit actif pour t=5 h.
2. Le médecin a-t-il respecté la dose à ne pas dépasser ?
Expliquer.
3. Déterminer les temps, en heure et en minute, auxquels
la concentration du produit actif est de 15 mg/L.
4. Quelle est la durée pendant laquelle le médicament
est resté efficace ?
5. Au bout de quelle durée le médicament est-il complè-
tement éliminé ?
Partie B: Étude numérique
On admet que la concentration, exprimée en mg/L, du
produit actif dans le sang du malade est donnée en
fonction du temps t, exprimé en heure, par la fonction f
définie sur l'intervalle [0; 6] par: f(t)=t-12t²+36t.
6. Montrer que, pour tout t dans [0; 6], f(t)=t(t-6)².
7. En déduire les solutions de l'équation f(t)= 0 et
interpréter ces solutions dans le cadre de l'exercice.