Exercice 3 (Nombres de Mersenne): On appelle nombres de Mersenne les entiers définis par :

M₁2"-1 nEN
1): Calculer les quinze premiers nombres de Mersenne. Parmis eux, lesquels sont premiers?

2) Montrer que pour tout entier k22 et pour tout réel z:
x-1=(x-1) (2¹-1 +1¹-²+...+x+1)

3) Soit un entier n ≥ 2, on suppose que n n'est pas premier et on pose:
n = kx d avec k et d entiers compris entre 2 et n.Montrer que M, est divisible par : (2-1).

4) En déduire une condition pour que M, soit premier.


Note: En décembre 2018, on connaissait 51 nombres premiers de Mersenne, le plus grand étant: M82589933.