DEVOIR MAISON N° 3
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Irrationalité de √2
Une démonstration par l'absurde.
Le raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou
apagogie (du grec ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique.
philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d'une
proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou
«contraire »), soit à montrer la fausseté d'une proposition en déduisant
logiquement d'elle des conséquences absurdes.
(source Wikipédia)
Proposition: √2 est un nombre irrationnel.
le but de ce problème est de démontrer par l'absurde que √2 n'est pas un
nombre rationnel.
A) Préliminaires... (8 points)
1. Démontrer que le carré d'un entier impair est un entier impair.
- On remarquera que tout entier impair s'écrit sous la forme 2N +1 (où N est un
entier)
Quel que soit le nombre a: a² = a X a et ensuite appliquer la double distributivité.
2. On considère deux entiers m et n tels que m'
= 2n².
Déduire de la question précédente que m et n sont deux entiers pairs.
F
B) Le raisonnement par l'absurde ( 12 points)
Si √2 était un nombre rationnel, alors il existerait un couple d' entiers (p; q) tel
que :
√√2
P avec p et q premiers entre eux ; q non nul.
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D'après la partie préliminaire cela est-il possible ? Conclure.
C) Bonus: Démontrer de même que √3 est irrationnel
D) Une propriété : d'une manière générale: quel que soit n, entier positif non carré
parfait ton démontre que: √n est irrationnelle