Soit f une fonction dérivable sur IR.
Dans un repère orthogonal, on note C la courbe représentative de f et C' celle de sa dérivée. A(0;4) E C et B(0; -1) E C'.
1. Dans le repère ci-contre, on a tracé
C et trois courbes Gy, Cz et Cy dont l'une est C'. Laquelle est-ce ? Justifier.
2. Déterminer l'équation de la droite A tangente à la courbe C en A.
3. On sait que pour tout réel x, f(x) = (ax + b) e-* + 1 où a et b sont deux nombres réels.
Déterminer b, puis prouver que a = 2.
4. Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D d'équation y = 1.
5. Démontrer que pour tout réel x,
f' (x) = (-2x - 1) e-*. = 63
6a. Etudier le signe de f' (x) sur IR, puis en déduire les variations de f sur IR.
6b. Justifier que la fonction f admet un maximum sur IR dont on précisera la valeur.