Les suites arithmético-géométriques.

Exercice 1

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle un bambou
d'une taille initiale de 1 m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5% auxquels s'ajoutent
20 cm.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Un la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou
A la fin du n-ième mois, et uo= 100.

1. Calculer u₁ et ₂.

2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, Un+1=1,05x Un +20.

3. Pour tout entier naturel n, on pose: Vnun +400.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme V0

b. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

c. En déduire que pour tout entier naturel n, u = 500 x 1,05puissance n -400.

d. Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7° mois.