Exercice 2 : factorisation d'un polynôme dont on connaît une racine Propriété & Méthode à connaître: P(x) est un polynôme (de degré n quelconque). Le nombre a est un racine de ce polynôme (autrement dit P(a) = 0) si et seulement si on peut factoriser P(x) par (x-a), autrement dit si et seulement si on peut écrire P(x)=(x-a)xQ(x) où Q(x) est un polynôme de degré (n-1)
Exemple: P(x)=5x³-4x²+8x-40 On remarque que P(2)=0: donc 2 est une racine de P. On sait alors qu'on peut factoriser P(x) par (x-2). En pratique on écrit P(x)=(x-2)(ax²+bx+c) polynôme de degré 3 = polynome de degré 1 X polynôme de degré 2 Pour trouver les valeurs de a,b,c on identifie les coefficients : D'une part P(x)=5x³-4x²+8x-40 D'autre part P(x)=(x-2)-(ax²+bx+c) = ax³ - 2 ax²+bx²-2 bx+cx-2 c = ax³ +(b-2a) x²+(c-2b)x-2c a=5 -4=b-2a 8=c-2b Donc -40=-2c on résout..... a=5 b=6 b=6 c=20 Finalement P(x)=(x-2)(5x²+6x +20) la méthode est validée car on trouve bien le même résultat pour b.
→ Avec P(x)=6x³-43x²+86x-40, calculer P(-4) et en déduire une factorisation complète de P(x)