Exercice 2: rationalité de √2
L'objectif de cet exercice est de démontrer que
irrationnel).
Pour cela, on va supposer que √2 est un nombre rationnel et on va obtenir une contradiction
mathématique.
On suppose donc qu'il existe deux entiers naturels p et q non nuls qui n'ont pas de diviseurs
communs tels √2=²
que
9
√2 n'est pas un nombre rationnel (donc un nombre
1) Démontrer que les nombres p et q vérifient p² = 2q²
2) Remplir le tableau des valeurs suivant en indiquant le chiffre des unités :
1
2 3
5
Chiffre des
unités de
a
Chiffre des
unités de
a²
Chiffre des
unités de
2a²
6
3) Quels sont les chiffres des unités possibles de p² ?
4) Quels sont les chiffres des unités possibles de 2q² ?
5) En déduire que p et q n'existent pas.