37 Démontrer et appliquer le cours
Établir une loi Exploiter un énoncé
Pour refroidir un verre de limonade, on peut y introduire
un glaçon, mais l'eau de fonte du glaçon affadit la boisson.
Boire une limonade « on the rocks » signifie qu'on y introduit
plutôt un caillou (rock) glacial. Ce caillou est un cube
de granite de côté a = 3,0 cm. La masse volumique du
granite vaut p = 2,64 x 103 kg-m³ et sa capacité thermique
massique vaut Cor=790 J-K-¹-kg-¹.
Pour le refroidir, on le suspend par un fil dans une chambre
froide, au contact de l'air à la température 8th = -25 °C. La
température du caillou à la date test notée 8(t), sa valeur
initiale est 0(0) = 0o = 15 °C.
La puissance du transfert thermique conducto-convectif
cédé par le caillou à l'air extérieur est donné par la loi de
Newton: Pth.cc = hs(e(t)- 8th)
où S est l'aire de la surface du glaçon et h= 10 W-K-¹-m-2.
a. Calculer l'aire totale des six faces du caillou.
b. Calculer le volume du caillou.
c. En déduire sa masse et sa capacité thermique C = mcgr
d. Effectuer le bilan d'énergie interne entre les dates tet
t+ At pour le caillou, solide incompressible.
e. En déduire l'équation différentielle vérifiée par 8(t) qu'on
exprimera sous la forme suivante en précisant la valeur
de 1, 1
du temps caractéristique t: +-8= -0th
dt T T
f. La solution générale de cette équation différentielle est :
e(t) = 8th+Ae-t/t
Déterminer la constante A grâce à la condition initiale.
g. Déterminer la date à laquelle le caillou devient << glacial »>,
c'est-à-dire que sa température exprimée en degrés Celsius
devient négative.