On dispose d’une ficelle de longueur 1 mètre que l’on coupe en deux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l’autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.
On se propose de déterminer où couper la ficelle de sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale. On note x la longueur de la ficelle utilisée pour le carré. La longueur de la ficelle utilisée pour le rectangle est donc de 1−x.
1. Exprimer l’aire du carré en fonction de x.
2. a. Montrer que la largeur du rectangle est 1−x6.
b. En déduire que l’aire du rectangle est 118(1−x)2.
3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;1] par :
f(x)=116x2+118(1−x)2.
Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ;1], f(x)=17144x2−19x+118, puis
que, pour tout réel x appartenant à [0 ;1], f(x)=17144(x−817)2+134.
