SUJET 1- Les équations selon Al - Khwarizmi
résolution d'équations. Il s'agit de recettes, appelées aujourd'hui algorithmes, menant à la solution.
Le mathématicien et astronome perse Al Khwarizmi (780; 850) a établi dans son traité, le Kitáb, des méthodes de
Dans ce devoir, vous allez étudier comment Al Khwarizmi a résolu les équations du type x² + ax=b, où a et b sont des
nombres positifs.
PARTIE 1: Cas particuliers
1) Al Khwarizmi écrivait « Un carré plus 10 racines est égal à 39 dirhams (*) » pour désigner, dans le langage
mathématique d'aujourd'hui, l'équation : x² + 10x = 39.
Le procédé de résolution de cette équation consiste à effectuer le programme de calculs suivant :
1.
Prendre la moitié de 10.
2. Élever cette moitié au carré.
3. Ajouter ce carré à 39.
4. Prendre la racine carrée de cette somme.
5. Soustraire à ce résultat la moitié de 10.
(*) Le dirham était la monnaie de l'époque.
a) Appliquer ce programme de calculs et noter le nombre obtenu à l'issue de l'étape 5.
b) Vérifier que ce nombre est effectivement solution de l'équation x² + 10x = 39.
2) Adapter le programme de calculs de la question 1 pour trouver une solution de l'équation x² + 3x = 40.
3) Adapter le programme de la question 1 pour trouver le carré telle que : « Un carré plus 7 racines est égal à 18 dirhams. >>
PARTIE 2: Cas général
Dans la suite, on considère l'équation x² + ax=b sous sa forme générale où a et b sont des nombres quelconques positifs.
1) Démontrer que le programme de calculs mène à :
2) Retrouver ce résultat en appliquant la méthode du discriminant.