Exercice 3:
On va démontrer par séparation des cas que le produit de deux nombres consécutifs
est pair - autrement dit que pour tout n entier, n(n+1) est pair.
Soit n un entier naturel.
a. Premier cas: n est pair. Montrer que n(n+1) est pair.
b. Deuxième cas: n est impair. Montrer que n(n+1) est pair.
c. Conclure.
Problème :
Le but de ce problème est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini
en raisonnant par l'absurde.
1. Réflexions à partir d'exemples:
a. Quel est le reste de la division euclidienne de 47 par 23 ? Que conclure concernant
la divisibilité de 47 par 23 ?
b. Soit n un nombre entier tel qu'il existe un entier k tel que :
n = 23k + 1
Montrer que n n'est pas divisible par 23
c. Montrer que 211=2.3.5.7+1 n'est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 5 ni par 7.
2. Une démonstration possible de l'infinité des nombres premiers :